L
Logarithmusgesetze
\[\log_b\left(b\right)=1\]
\[\log_b\left(1\right)=0\]
Produktregel
\[\log_a\left(b\cdot c\right)=\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)\]
Quotientenregel
\[\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a\left(b\right)-\log_a\left(c\right)\]
Potenzregel
\[\log_a\left(b^n\right)=n\cdot\log_a\left(b\right)\]
\[\log_b\left(\ ^n\sqrt{x}\right)=\frac{\log_b\left(x\right)}{n}\]
Basiswechsel
\[\log_a\left(x\right)=\frac{\log_b\left(x\right)}{\log_b\left(a\right)}=\frac{\lg\left(x\right)}{\lg\left(a\right)}=\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(a\right)}\]
Zusatz
\[a^{\log_a\left(x\right)}=x\]
\[\log_a\left(a^x\right)=x\cdot\log_a\left(a\right)=x\]
Logarithmusgesetze beim ln (logarithmus naturalis)
\[\ln\left(a\cdot b\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)\]
\[\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)\]
\[\ln\left(a^b\right)=b\cdot\ln\left(a\right)\]
\[\ln\left(\frac{1}{a}\right)=\ln\left(1\right)-\ln\left(a\right)=-\ln\left(a\right)\]
\[\ln\left(1\right)=0\]
\[\ln\left(e\right)=1\]
\[e^{\ln\left(a\right)}=a\]
\[\ln\left(e^a\right)=a\]
\[e^{a\cdot\ln\left(b\right)}=e^{\ln\left(b^a\right)}=b^a\]
P
Potenzgesetze
Multiplizieren (gleiche Basis)
\[x^a\cdot x^b=x^{a+b}\]
Dividieren (gleiche Basis)
\[\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\]
Potenzieren
\[\left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b}\]
Multiplizieren (gleicher Exponent)
\[a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n\]
Dividieren (gleicher Exponent)
\[\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\]
Negativer Exponent
\[x^{-n}=\frac{1}{x^n}\]
Bruch im Exponenten
\[x^{\frac{1}{n}}=^n\sqrt{x}\]
\[x^{\frac{m}{n}}=^{^n}\sqrt{x^m}\]
\[x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{^{^n}\sqrt{x^m}}\]
W
Wurzelgesetze
Addieren
\[a\cdot^n\sqrt{x}+b\cdot^n\sqrt{x}=\left(a+b\right)\cdot^n\sqrt{x}\]
Subtrahieren
\[a\cdot^n\sqrt{x}-b\cdot^n\sqrt{x}=\left(a-b\right)\cdot^n\sqrt{x}\]
Multiplizieren
\[^n\sqrt{a}\cdot^n\sqrt{b}=^n\sqrt{a\cdot b}\]
Dividieren
\[\frac{^n\sqrt{a}}{^n\sqrt{b}}=^{^n}\sqrt{\frac{a}{b}}\]
Potenzieren
\[\left(^n\sqrt{a}\right)^m=^{^n}\sqrt{a^m}\]
Radizieren
\[^{^m}\sqrt{^n\sqrt{a}}=^{m\cdot n}\sqrt{a}\]