Tangente und Normale

Basics

Tangente

\[t:y=mx+n\]

Um n auszurechnen

\[f\left(x\right)=f'\left(x\right)\cdot x+n\]

Normale

\[n:y=-\frac{1}{m}\cdot x+b\]

Um n auszurechnen

\[f\left(x\right)=-\frac{1}{f'\left(x\right)}\cdot x+b\]

Beispiel

Gesucht ist die Tangent und die Normale am Punkt P(2|f(2)) der Funktion f(x)=x²+2x+1. Berechne.

Teil 1 – Tangente

\[f\left(x\right)\ =\ x^2+2x+1\]

Berechne die Ableitung

\[f'\left(x\right)=2x+2\]

Berechne f(x) und f'(x)

\[f\left(2\right)=2^2+2\cdot2+1=9\]

\[f'\left(2\right)=2\cdot2+2=6\]

\[t:y=mx+n\]

\[f\left(x\right)=f'\left(x\right)\cdot x+n\]

setze ein und stelle nach n um

\[9=6\cdot2+n\]

\[9=12+n\]

\[n=-3\]

alles in die Formel einsetzen

\[t:y=6x-3\]

Teil 2 – Normale

\[n:y=-\frac{1}{m}\cdot x+b\]

\[f\left(x\right)=-\frac{1}{m}\cdot x+b\]

\[9=-\frac{1}{6}\cdot2+b\]

\[9=-\frac{1}{3}+b\]

\[b=9,\overline{3}\]

\[n:t=-\frac{1}{6}x+9,\overline{3}\]

Hilfsformel

\[t:y=f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)+f\left(x_o\right)\]

Beispiel

Berechne die Tangente an dem Punkt P( 0 | f(0) ) der Funktion f(x)=x²+2x+1 mithilfe der Hilfsformel.

\[f\left(x\right)=x^2+2x+1\]

• Ableitung berechnen

\[f'\left(x\right)=2x+2\]

• alles in die Formel einfügen

\[t:y=\left(2\cdot0+2\right)\cdot\left(x-0\right)+\left(0^2+2\cdot0+1\right)\]

• alles was in den Klammern ist (und man ausrechnen kann), ausrechnen

\[t:y=2\cdot\left(x-0\right)+1\]

• Klammern auflösen und alles zusammenrechnen

\[t:y=2x+1\]