Ableitung

Basics

Die Ableitung f'\left(x\right) braucht man um die Steigung an einem Punkt x der Funktion f\left(x\right) herauszufinden. Man berechnet sie wie folgt:

f \left( x \right) = x^n

\[f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}\]

Beispiel

\[f\left(x\right)=x^7\]

\[f'\left(x\right)=7\cdot x^{7-1}=7x^6\]

Natürlich kann es sein, dass vor dem x noch ein Faktor steht. Den würde man einfach mit multiplizieren:

\[f\left(x\right)=ax^n\]

\[f'\left(x\right)=n\cdot a\cdot x^{n-1}\]

Und dann gibt es natürlich auch noch den Fall, dass Zahlen oder Variablen ohne x in der Formel sind. Hierbei werden sie zu null. Denn in einer Funktion eine Variable b ohne x zu haben ist das gleiche wie:

\[b=b\cdot x^0\ \]

Da alles hoch 0 ergibt 1. Und da bei der Ableitung der Exponent nach vorne geholt wird und multipliziert wird, ist alles gleich null:

\[f\left(x\right)=ax^n+b\ \left(=ax^n+bx^0\right)\]

\[f'\left(x\right)=n\cdot a\cdot x^{n-1}+0\cdot bx^{-1}=n\cdot ax^{n-1}\]

Beispiele

\[f\left(x\right)=3x^4+7x^2+2x+199\]

Zusätzliche Lösungsschritte

1. zusätzliche Exponenten und x’e aufschreiben

\[f\left(x\right)=3x^4+7x^2+2x^1+199x^0\]

2. ableiten

\[f'\left(x\right)=4\cdot3\cdot x^{4-1}+2\cdot7\cdot x^{2-1}+1\cdot2\cdot x^{1-1}+0\cdot199\cdot x^{0-1}\]

3. zusammenrechnen

\[f'\left(x\right)=12\cdot x^3+14\cdot x^1+2\cdot x^0+0\cdot x^{-1}\]

4. überflüssige Exponenten und x’e entfernen

\[f'\left(x\right)=12x^3+14x+2\]

sin(x), cos(x), -sin(x) und -cos(x)

\[\left(\sin\left(x\right)\right)^'=\cos\left(x\right)\]

\[\left(\cos\left(x\right)\right)^'=-\sin\left(x\right)\]

\[\left(-\sin\left(x\right)\right)^'=-\cos\left(x\right)\]

\[\left(-\cos\left(x\right)\right)^'=\sin\left(x\right)\]

Kettenregel

\[f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)\]

\[f'\left(x\right)=u'\left(v\right)\cdot v'\]

Beispiel

\[f\left(x\right)=\sin\left(2x\right)\]

\[f'\left(x\right)=\cos\left(2x\right)\cdot2\]

Produktregel

\[f\left(x\right)=u\cdot v\ \]

\[f'\left(x\right)=u'\cdot v+v'\cdot u\]

Beispiel

\[f\left(x\right)=x\cdot\sin\left(x\right)\]

\[f'\left(x\right)=1\cdot\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\cdot x=\sin\left(x\right)+x\cdot\cos\left(x\right)\]

Quotientenregel

\[f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\]

\[f'\left(x\right)=\frac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}\]

Beispiel

\[f\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\]

\[f'\left(x\right)=\frac{\cos\left(x\right)\cdot2x-2\cdot\sin\left(x\right)}{\left(2x\right)^2}\]

Ableitung von Exponentialfunktionen

\[f\left(x\right)=a^x\]

\[f'\left(x\right)=\ln\left(a\right)\cdot a^x\]

der e-Funktion

Das besondere an der e-Funktion (der Funktion mit der eulerschen Zahl als Basis) ist, dass die Ableitung der Funktion, die Funktion ist.

\[f\left(x\right)=e^x\]

Zusatzschritt

\[f'\left(x\right)=\ln\left(e\right)\cdot e^x\]

\[f'\left(x\right)=1\cdot e^x\]

\[f'\left(x\right)=e^x\]

Logarithmusregeln

\[f\left(x\right)=\log_a\left(x\right)\]

\[f'\left(x\right)=\frac{1}{\ln\left(a\right)\cdot x}\]

…des ln()

\[f\left(x\right)=\ln\left(x\right)\]

\[f'\left(x\right)=\frac{1}{x}\]

Tangens

\[f\left(x\right)=\tan\left(x\right)\]

Herleitung

\[\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\]

\[f\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\]

• die Quotientenregel anwenden

\[f'\left(x\right)=\frac{\cos\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)-\left(-\sin\left(x\right)\right)\cdot\sin\left(x\right)}{\left(\cos\left(x\right)\right)^2}\]

• multiplizieren

\[f'\left(x\right)=\frac{\cos^2\left(x\right)-\left(-\sin^2\left(x\right)\right)}{\cos^2\left(x\right)}\]

• die zwei – zu einem + machen

\[f'\left(x\right)=\frac{\cos^2\left(x\right)+\sin^2\left(x\right)}{\cos^2\left(x\right)}\]

• Den Zähler mit der folgenden Formel zu 1 umformen

\[\cos^2\left(x\right)+\sin^2\left(x\right)=1\]

\[f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos^2\left(x\right)}\]